{"id":87925,"date":"2026-04-13T11:59:00","date_gmt":"2026-04-13T09:59:00","guid":{"rendered":"https:\/\/aktuelles.uni-frankfurt.de\/?p=87925"},"modified":"2026-04-09T15:59:19","modified_gmt":"2026-04-09T13:59:19","slug":"der-schatten-der-spirale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/aktuelles.uni-frankfurt.de\/en\/forschung\/der-schatten-der-spirale\/","title":{"rendered":"Der Schatten der Spirale"},"content":{"rendered":"
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Die Mathematikerin Katharina H\u00fcbner erforscht Objekte aus einer fremden Zahlenwelt, die sich nur \u00fcber wundersame Umwege erschlie\u00dfen lassen.<\/h2>\n\n\n\n
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Es gibt Orte, die kein Mensch je betreten wird, schlicht weil sie in unserer allt\u00e4glichen Wirklichkeit nicht existieren. Mathematiker* innen im Forschungsprojekt SFB\/TRR 326 GAUS besuchen solche Orte t\u00e4glich: Sie erforschen kuriose Objekte, die sich weder anfassen noch zeichnen lassen und die sich niemand vorstellen kann. Um das zu schaffen, m\u00fcssen sie tricksen und sich den unzug\u00e4nglichen Objekten \u00fcber etwas n\u00e4hern, das sie handhaben k\u00f6nnen: Sie \u00fcberbauen die Objekte, untersuchen die Konstruktionen, die entstehen, und enth\u00fcllen \u00fcber diesen Umweg die Eigenschaften der urspr\u00fcnglichen Gebilde, die sie niemals direkt h\u00e4tten erkennen k\u00f6nnen.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Kunstgriff<\/h2>\n\n\n\n
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Katharina H\u00fcbner, Mathematikerin (Foto: Uwe Dettmar)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Betrachten wir als einfaches Beispiel einen Kreis und nehmen wir an, diese d\u00fcnne Linie, die einmal heruml\u00e4uft und wieder an ihrem Ursprung ankommt, w\u00e4re zu vertrackt, um sie direkt zu untersuchen. Der Kunstgriff, zu dem Katharina H\u00fcbner nun greift, ist, Etagen \u00fcber dieser Form zu errichten: Sie nimmt eine Schnur, die nach beiden Seiten ins Unendliche weiterl\u00e4uft, und wickelt sie wie eine Spule auf. Man kann sich die Helix, die auf diese Weise entsteht, wie die Auffahrt eines Parkhauses vorstellen, die gleichm\u00e4\u00dfig nach oben f\u00fchrt, Runde um Runde, ohne Ende. Diese Spirale liegt just so \u00fcber dem urspr\u00fcnglichen Kreis, dass ihr Schatten, von oben beleuchtet, genau die Kreislinie ergibt. \u201eWir haben jetzt ein besser zug\u00e4ngliches Objekt gewonnen\u201c, erl\u00e4utert Katharina H\u00fcbner, \u201edas den Kreis trotzdem pr\u00e4zise beschreibt.\u201c Schlie\u00dflich ist die Spirale, wenn man sie auseinanderwickelt und glattzieht, eine brave Gerade, ein denkbar einfaches Objekt. In der Art aber, wie sie aufgewickelt ist, tr\u00e4gt sie zus\u00e4tzlich alle Informationen \u00fcber den Kreis, \u00fcber dem sie errichtet wurde.<\/p>\n\n\n\n

Solche Konstruktionen hei\u00dfen in der Mathematik \u00dcberlagerungen. Sie klingen technisch, beruhen aber auf einem anschaulichen Prinzip: Wenn ein Objekt zu schwer ist, um es direkt packen zu k\u00f6nnen, betrachtet man ein einfacheres Objekt dar\u00fcber und nutzt dessen Struktur, um das darunterliegende zu verstehen. Sieht die Spirale auch anders aus als der Kreis, verr\u00e4t sie doch, dass der Kreis in der Mitte ein Loch hat, und zwar auf eine Weise, die sich berechnen und verallgemeinern l\u00e4sst. \u201eMan kann viele Strukturen besser verstehen, wenn man sich den Raum oben dr\u00fcber anschaut\u201c, sagt Katharina H\u00fcbner.<\/p>\n\n\n\n

Wie eine \u00dcberlagerung aussieht, ist kein Zufall, sondern Fingerabdruck des Raumes unter ihr. Mathematikerinnen und Mathematiker haben aus dieser Idee eine ganze Theorie gebaut. Sie analysieren alle m\u00f6glichen \u00dcberlagerungen eines Raumes und erfahren dabei etwas dar\u00fcber, wie er aussieht: Wie viele L\u00f6cher hat er? Wie ist er strukturiert? Wie verlaufen Wege in ihm? Diese Theorie ist m\u00e4chtig und funktioniert wunderbar, solange man sich in der vertrauten Welt der reellen Zahlen befindet.<\/p>\n\n\n\n

Katharina H\u00fcbner untersucht allerdings keine Kreislinien. \u201eF\u00fcr ein so \u00fcberschaubares Objekt w\u00e4re der theoretische Aufwand schlicht Overkill\u201c, findet sie. Sie interessiert sich f\u00fcr Objekte, die weitaus anspruchsvoller sind. Um zu verstehen, womit sie arbeitet, hilft ein kurzer Umweg \u00fcber Gleichungen. Die einfache Kreislinie, die wir eben betrachtet haben, l\u00e4sst sich mit der Polynomgleichung x\u00b2 + y\u00b2 = 1 beschreiben, denn alle Punkte (x, y), die diese Gleichung erf\u00fcllen, bilden zusammen einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0). W\u00e4hlt man andere Vorfaktoren und schaut sich etwa die Gleichung 4 x\u00b2 + 7y\u00b2 = 3 an, erh\u00e4lt man eine Ellipse. Was aber passiert, wenn die Koordinaten (x, y), die eine solche Gleichung l\u00f6sen, nicht aus der vertrauten Welt der reellen Zahlen stammen, sondern aus einer anderen Zahlenwelt?<\/p>\n\n\n\n

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Kuriose Zahlen <\/h2>\n\n\n\n

Eine solche Alternative sind die sogenannten p-adischen Zahlen. p steht dabei f\u00fcr eine beliebige Primzahl, zum Beispiel 3 oder 5 oder 41. In dieser Welt gelten v\u00f6llig andere Nachbarschaftsbeziehungen. In der p-adischen Welt, die f\u00fcr die Primzahl p = 5 entsteht, sind etwa die Zahlen 33 und 36 und 76 gleich gro\u00df, und 75 ist kleiner als 30. Es klingt v\u00f6llig absurd, folgt aber klaren Regeln und ist damit eine legitime Art, Gr\u00f6\u00dfen und Abst\u00e4nde zu messen \u2013 auch wenn sie unseren Gewohnheiten widerspricht.<\/p>\n\n\n\n

Solche kuriosen Zahlen zu nutzen, hat weitreichende Konsequenzen f\u00fcr die Geometrie der R\u00e4ume. Nimmt man etwa die vertraute Kreisgleichung x\u00b2 + y\u00b2 = 1 und sucht L\u00f6sungen in den p-adischen Zahlen, entsteht ein sogenannter rigid analytischer Raum. Betrachtet man einen Kreisring, also eine Scheibe mit einem Loch in der Mitte, und denkt ihn p-adisch, entsteht ein anderer rigid analytischer Raum. Diese R\u00e4ume sehen auf dem Papier \u00e4hnlich aus wie ihre klassischen Verwandten, wie Kreislinie und Kreisring, ihre innere Logik ist jedoch fremdartig, und diese Fremdartigkeit macht sie schwer zu durchdringen, gleichzeitig aber auch so faszinierend.<\/p>\n\n\n\n

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Zahlentheorie etwa galt jahrhundertelang als Paradebeispiel nutzloser Mathematik (\u2026) \u2013 bis sich herausstellte, dass zahlentheoretische Strukturen unverzichtbar sind, um unsere digitale Kommunikation vor Hackerangriffen zu sch\u00fctzen. Was heute abstrakt wirkt, kann also morgen mit einem Mal unersetzlich sein.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

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Die gro\u00dfe Frage, der Katharina H\u00fcbner nachgeht, lautet: Funktioniert die Theorie der \u00dcberlagerungen auch in dieser anderen Welt? L\u00e4sst sich also aus den \u00dcberlagerungen eines rigid analytischen Raums genauso elegant ablesen, wie viele L\u00f6cher er hat und was ihn in seinem Innersten zusammenh\u00e4lt? Die Antwort ist komplizierter als erhofft. \u201e\u00dcbertr\u00e4gt man die klassische Theorie auf rigid analytische R\u00e4ume, bekommt man zwar \u00dcberlagerungen, aber man bekommt viel zu viele\u201c, beklagt die Mathematikerin, \u201eau\u00dferdem sind sie wild verzweigt und schlecht zu kontrollieren, sie liefern nicht die Information, die wir haben wollen.\u201c Katharina H\u00fcbner hat jedoch M\u00f6glichkeiten entwickelt, um die \u00dcberlagerungen im Zaum zu halten und aus diesem Turm an Etagen doch noch etwas \u00fcber die rigid analytischen R\u00e4ume darunter zu erfahren.<\/p>\n\n\n\n

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Mathematisch vereinfacht kann man eine Helix (hier ein Slinky) von oben betrachten
und sieht dann einen Kreis. Bild: StudioGraphic \/ Shutterstock<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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Zusammenh\u00e4nge zwischen Geometrie und Zahlentheorie <\/h2>\n\n\n\n

Das Prinzip, einem komplizierten Objekt, das man nicht greifen kann, ein einfacheres gegen\u00fcberzustellen, das im Kleinen dieselbe Struktur tr\u00e4gt, im Gro\u00dfen aber \u00fcbersichtlicher ist, nennt man Uniformisierung. Die aufgewickelte Gerade ist die Uniformisierung der Kreislinie. Die Gerade ist zwar simpel \u2013 sie besitzt kein Loch und ist nicht geschlossen \u2013, die Kompliziertheit des Kreises aber tr\u00e4gt sie mit sich in der Symmetrie der aufgewickelten Spirale. Und Symmetrien lassen sich in der Mathematik mit leistungsstarken Werkzeugen untersuchen. Das Prinzip der Uniformisierung verbindet die Forschungen im Projekt SFB\/TRR 326 GAUS \u201eGeometry and Arithmetic of Uniformized Structures\u201c. Katharina H\u00fcbner und ihre Ko-Autoren Jakob Stix, Piotr Achinger und Marcin Lara arbeiten mit vielen weiteren Kolleginnen und Kollegen von den Universit\u00e4ten Frankfurt, Darmstadt, Heidelberg, Mainz, M\u00fcnster und Hannover zusammen und untersuchen hier, wie Uniformisierung in verschiedenen mathematischen Welten funktioniert, und erforschen, welche tiefen Zusammenh\u00e4nge zwischen Geometrie und Zahlentheorie in diesen Strukturen verborgen liegen. Dazu nutzen sie Techniken aus der j\u00fcngsten mathematischen Forschung, darunter bahnbrechende Ergebnisse des Fields-Medaillentr\u00e4gers Peter Scholze aus Bonn, der eine unerwartete Br\u00fccke zwischen klassischer Geometrie und einer Parallelwelt der Mathematik geschlagen hat, in der neue Symmetrien sichtbar werden.<\/p>\n\n\n\n

Um abstrakten Objekten n\u00e4her zu kommen, gehen Mathematikerinnen und Mathematiker sonderliche Umwege und greifen auf erstaunliche Techniken zur\u00fcck. Diese Methoden und Werkzeuge machen keine Br\u00fccken stabiler und verbessern keine Smartphoneakkus \u2013 praktische Anwendungen besitzt Uniformisierung noch nicht. Die Arbeit im Projekt SFB\/TRR 326 GAUS ist Grundlagenforschung. Die Wissenschaftler* innen schaffen hier Verst\u00e4ndnis, lange bevor klar ist, wozu es n\u00fctzlich sein k\u00f6nnte. Zahlentheorie etwa galt jahrhundertelang als Paradebeispiel nutzloser Mathematik, sie war eine Spielwiese f\u00fcr abstraktes Denken, sch\u00f6n wie ein Gedicht, aber ebenso praktisch \u2013 bis sich herausstellte, dass zahlentheoretische Strukturen unverzichtbar sind, um unsere digitale Kommunikation vor Hackerangriffen zu sch\u00fctzen. Was heute abstrakt wirkt, kann also morgen mit einem Mal unersetzlich sein. Katharina H\u00fcbner und ihre Kolleg*innen arbeiten an solchen abstrakten Themen an der Grenze des Denkbaren, wo die vertrauten Werkzeuge versagen und neue erfunden werden m\u00fcssen.<\/p>\n\n\n\n

Autor: Aeneas Rooch<\/em><\/p>\n\n\n\n

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Der Sonderforschungsbereich \/Transregion 326 GAUS \u2013 ein Projekt der Rhein-Main-Universit\u00e4ten und deren Partner
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Wie sich hochkomplexe geometrische und arithmetische Strukturen durch einfachere R\u00e4ume beschreiben lassen, untersucht seit 2021 der SFB\/TRR 326 \u00bbGeometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen (GAUS)\u00ab. Beteiligt sind die Goethe-Universit\u00e4t Frankfurt als Sprecheruniversit\u00e4t, die Technische Universit\u00e4t Darmstadt und die Universit\u00e4t Heidelberg. Partner sind die Johannes Gutenberg-Universit\u00e4t Mainz \u2013 die zusammen mit Frankfurt und Darmstadt den Verbund der Rhein-Main-Universit\u00e4ten (RMU) bildet \u2013 sowie die Universit\u00e4t Hannover und die Universit\u00e4t M\u00fcnster. https:\/\/crc326gaus.de<\/a><\/p>\n\n\n\n

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Zusammenarbeit im Verbund der Rhein-Main-Universit\u00e4ten<\/strong>

Beitr\u00e4ge aus dem UniReport (Ausgabe 1.26) \u00fcber:

das Forschungsprojekt SFB\/TRR 326 GAUS
den RMU-Bachelor-Studiengangs \u201eAfrikanische Sprachen, Medien und Kommunikation\u201c<\/a>
das DFG-Graduiertenkolleg \u201eStandards des Regierens\u201c<\/a><\/p>\n\n\n\n

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