Der Schatten der Spirale

Die Mathematikerin Katharina Hübner erforscht Objekte aus einer fremden Zahlenwelt, die sich nur über wundersame Umwege erschließen lassen.

Es gibt Orte, die kein Mensch je betreten wird, schlicht weil sie in unserer alltäglichen Wirklichkeit nicht existieren. Mathematiker* innen im Forschungsprojekt SFB/TRR 326 GAUS besuchen solche Orte täglich: Sie erforschen kuriose Objekte, die sich weder anfassen noch zeichnen lassen und die sich niemand vorstellen kann. Um das zu schaffen, müssen sie tricksen und sich den unzugänglichen Objekten über etwas nähern, das sie handhaben können: Sie überbauen die Objekte, untersuchen die Konstruktionen, die entstehen, und enthüllen über diesen Umweg die Eigenschaften der ursprünglichen Gebilde, die sie niemals direkt hätten erkennen können.

Kunstgriff

Betrachten wir als einfaches Beispiel einen Kreis und nehmen wir an, diese dünne Linie, die einmal herumläuft und wieder an ihrem Ursprung ankommt, wäre zu vertrackt, um sie direkt zu untersuchen. Der Kunstgriff, zu dem Katharina Hübner nun greift, ist, Etagen über dieser Form zu errichten: Sie nimmt eine Schnur, die nach beiden Seiten ins Unendliche weiterläuft, und wickelt sie wie eine Spule auf. Man kann sich die Helix, die auf diese Weise entsteht, wie die Auffahrt eines Parkhauses vorstellen, die gleichmäßig nach oben führt, Runde um Runde, ohne Ende. Diese Spirale liegt just so über dem ursprünglichen Kreis, dass ihr Schatten, von oben beleuchtet, genau die Kreislinie ergibt. „Wir haben jetzt ein besser zugängliches Objekt gewonnen“, erläutert Katharina Hübner, „das den Kreis trotzdem präzise beschreibt.“ Schließlich ist die Spirale, wenn man sie auseinanderwickelt und glattzieht, eine brave Gerade, ein denkbar einfaches Objekt. In der Art aber, wie sie aufgewickelt ist, trägt sie zusätzlich alle Informationen über den Kreis, über dem sie errichtet wurde.

Solche Konstruktionen heißen in der Mathematik Überlagerungen. Sie klingen technisch, beruhen aber auf einem anschaulichen Prinzip: Wenn ein Objekt zu schwer ist, um es direkt packen zu können, betrachtet man ein einfacheres Objekt darüber und nutzt dessen Struktur, um das darunterliegende zu verstehen. Sieht die Spirale auch anders aus als der Kreis, verrät sie doch, dass der Kreis in der Mitte ein Loch hat, und zwar auf eine Weise, die sich berechnen und verallgemeinern lässt. „Man kann viele Strukturen besser verstehen, wenn man sich den Raum oben drüber anschaut“, sagt Katharina Hübner.

Wie eine Überlagerung aussieht, ist kein Zufall, sondern Fingerabdruck des Raumes unter ihr. Mathematikerinnen und Mathematiker haben aus dieser Idee eine ganze Theorie gebaut. Sie analysieren alle möglichen Überlagerungen eines Raumes und erfahren dabei etwas darüber, wie er aussieht: Wie viele Löcher hat er? Wie ist er strukturiert? Wie verlaufen Wege in ihm? Diese Theorie ist mächtig und funktioniert wunderbar, solange man sich in der vertrauten Welt der reellen Zahlen befindet.

Katharina Hübner untersucht allerdings keine Kreislinien. „Für ein so überschaubares Objekt wäre der theoretische Aufwand schlicht Overkill“, findet sie. Sie interessiert sich für Objekte, die weitaus anspruchsvoller sind. Um zu verstehen, womit sie arbeitet, hilft ein kurzer Umweg über Gleichungen. Die einfache Kreislinie, die wir eben betrachtet haben, lässt sich mit der Polynomgleichung x² + y² = 1 beschreiben, denn alle Punkte (x, y), die diese Gleichung erfüllen, bilden zusammen einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0). Wählt man andere Vorfaktoren und schaut sich etwa die Gleichung 4 x² + 7y² = 3 an, erhält man eine Ellipse. Was aber passiert, wenn die Koordinaten (x, y), die eine solche Gleichung lösen, nicht aus der vertrauten Welt der reellen Zahlen stammen, sondern aus einer anderen Zahlenwelt?

Kuriose Zahlen

Eine solche Alternative sind die sogenannten p-adischen Zahlen. p steht dabei für eine beliebige Primzahl, zum Beispiel 3 oder 5 oder 41. In dieser Welt gelten völlig andere Nachbarschaftsbeziehungen. In der p-adischen Welt, die für die Primzahl p = 5 entsteht, sind etwa die Zahlen 33 und 36 und 76 gleich groß, und 75 ist kleiner als 30. Es klingt völlig absurd, folgt aber klaren Regeln und ist damit eine legitime Art, Größen und Abstände zu messen – auch wenn sie unseren Gewohnheiten widerspricht.

Solche kuriosen Zahlen zu nutzen, hat weitreichende Konsequenzen für die Geometrie der Räume. Nimmt man etwa die vertraute Kreisgleichung x² + y² = 1 und sucht Lösungen in den p-adischen Zahlen, entsteht ein sogenannter rigid analytischer Raum. Betrachtet man einen Kreisring, also eine Scheibe mit einem Loch in der Mitte, und denkt ihn p-adisch, entsteht ein anderer rigid analytischer Raum. Diese Räume sehen auf dem Papier ähnlich aus wie ihre klassischen Verwandten, wie Kreislinie und Kreisring, ihre innere Logik ist jedoch fremdartig, und diese Fremdartigkeit macht sie schwer zu durchdringen, gleichzeitig aber auch so faszinierend.

Zahlentheorie etwa galt jahrhundertelang als Paradebeispiel nutzloser Mathematik (…) – bis sich herausstellte, dass zahlentheoretische Strukturen unverzichtbar sind, um unsere digitale Kommunikation vor Hackerangriffen zu schützen. Was heute abstrakt wirkt, kann also morgen mit einem Mal unersetzlich sein.

Die große Frage, der Katharina Hübner nachgeht, lautet: Funktioniert die Theorie der Überlagerungen auch in dieser anderen Welt? Lässt sich also aus den Überlagerungen eines rigid analytischen Raums genauso elegant ablesen, wie viele Löcher er hat und was ihn in seinem Innersten zusammenhält? Die Antwort ist komplizierter als erhofft. „Überträgt man die klassische Theorie auf rigid analytische Räume, bekommt man zwar Überlagerungen, aber man bekommt viel zu viele“, beklagt die Mathematikerin, „außerdem sind sie wild verzweigt und schlecht zu kontrollieren, sie liefern nicht die Information, die wir haben wollen.“ Katharina Hübner hat jedoch Möglichkeiten entwickelt, um die Überlagerungen im Zaum zu halten und aus diesem Turm an Etagen doch noch etwas über die rigid analytischen Räume darunter zu erfahren.

Zusammenhänge zwischen Geometrie und Zahlentheorie

Das Prinzip, einem komplizierten Objekt, das man nicht greifen kann, ein einfacheres gegenüberzustellen, das im Kleinen dieselbe Struktur trägt, im Großen aber übersichtlicher ist, nennt man Uniformisierung. Die aufgewickelte Gerade ist die Uniformisierung der Kreislinie. Die Gerade ist zwar simpel – sie besitzt kein Loch und ist nicht geschlossen –, die Kompliziertheit des Kreises aber trägt sie mit sich in der Symmetrie der aufgewickelten Spirale. Und Symmetrien lassen sich in der Mathematik mit leistungsstarken Werkzeugen untersuchen. Das Prinzip der Uniformisierung verbindet die Forschungen im Projekt SFB/TRR 326 GAUS „Geometry and Arithmetic of Uniformized Structures“. Katharina Hübner und ihre Ko-Autoren Jakob Stix, Piotr Achinger und Marcin Lara arbeiten mit vielen weiteren Kolleginnen und Kollegen von den Universitäten Frankfurt, Darmstadt, Heidelberg, Mainz, Münster und Hannover zusammen und untersuchen hier, wie Uniformisierung in verschiedenen mathematischen Welten funktioniert, und erforschen, welche tiefen Zusammenhänge zwischen Geometrie und Zahlentheorie in diesen Strukturen verborgen liegen. Dazu nutzen sie Techniken aus der jüngsten mathematischen Forschung, darunter bahnbrechende Ergebnisse des Fields-Medaillenträgers Peter Scholze aus Bonn, der eine unerwartete Brücke zwischen klassischer Geometrie und einer Parallelwelt der Mathematik geschlagen hat, in der neue Symmetrien sichtbar werden.

Um abstrakten Objekten näher zu kommen, gehen Mathematikerinnen und Mathematiker sonderliche Umwege und greifen auf erstaunliche Techniken zurück. Diese Methoden und Werkzeuge machen keine Brücken stabiler und verbessern keine Smartphoneakkus – praktische Anwendungen besitzt Uniformisierung noch nicht. Die Arbeit im Projekt SFB/TRR 326 GAUS ist Grundlagenforschung. Die Wissenschaftler* innen schaffen hier Verständnis, lange bevor klar ist, wozu es nützlich sein könnte. Zahlentheorie etwa galt jahrhundertelang als Paradebeispiel nutzloser Mathematik, sie war eine Spielwiese für abstraktes Denken, schön wie ein Gedicht, aber ebenso praktisch – bis sich herausstellte, dass zahlentheoretische Strukturen unverzichtbar sind, um unsere digitale Kommunikation vor Hackerangriffen zu schützen. Was heute abstrakt wirkt, kann also morgen mit einem Mal unersetzlich sein. Katharina Hübner und ihre Kolleg*innen arbeiten an solchen abstrakten Themen an der Grenze des Denkbaren, wo die vertrauten Werkzeuge versagen und neue erfunden werden müssen.

Autor: Aeneas Rooch

Der Sonderforschungsbereich /Transregion 326 GAUS – ein Projekt der Rhein-Main-Universitäten und deren Partner

Wie sich hochkomplexe geometrische und arithmetische Strukturen durch einfachere Räume beschreiben lassen, untersucht seit 2021 der SFB/TRR 326 »Geometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen (GAUS)«. Beteiligt sind die Goethe-Universität Frankfurt als Sprecheruniversität, die Technische Universität Darmstadt und die Universität Heidelberg. Partner sind die Johannes Gutenberg-Universität Mainz – die zusammen mit Frankfurt und Darmstadt den Verbund der Rhein-Main-Universitäten (RMU) bildet – sowie die Universität Hannover und die Universität Münster. https://crc326gaus.de

Zusammenarbeit im Verbund der Rhein-Main-Universitäten

Beiträge aus dem UniReport (Ausgabe 1.26) über:

das Forschungsprojekt SFB/TRR 326 GAUS
den RMU-Bachelor-Studiengangs „Afrikanische Sprachen, Medien und Kommunikation“
das DFG-Graduiertenkolleg „Standards des Regierens“